Alexander Melnikov absolvierte sein Studium am Moskauer Konservatorium bei Lev Naumov. Zu seinen musikalisch prägendsten Erlebnissen zählen die Begegnungen mit Svjatoslav Richter, der ihn regelmäßig zu seinen Festivals in Russland und Frankreich einlud. Er ist Preisträger bedeutender Wettbewerbe wie dem Internationalen Robert-Schumann-Wettbewerb (1989) und dem Concours Musical Reine Elisabeth in Brüssel (1991).
Seine musikalischen und programmatischen Entscheidungen sind oft ungewöhnlich. Sehr früh begann Alexander Melnikov sich mit der historischen Aufführungspraxis auseinanderzusetzen. Wesentliche Impulse erhielt er von Andreas Staier und von Alexei Lubimov, mit dem er in zahlreichen Projekten zusammengearbeitet hat. Regelmäßig steht er mit namhaften Ensembles für Alte Musik wie dem Freiburger Barockorchester, Musica Aeterna oder der Akademie für Alte Musik Berlin auf der Bühne.
Unter den Orchestern, bei denen Alexander Melnikov als Solist gastierte, finden sich das Royal Concertgebouw Orchestra, das Gewandhausorchester Leipzig, das Koninklijk Concertgebouw Orkest Amsterdam, das Philadelphia Orchestra sowie die Münchner Philharmoniker und BBC Philharmonic. Er arbeitete mit Dirigenten wie Mikhail Pletnev, Teodor Currentzis, Charles Dutoit, Paavo Järvi und Vladimir Jurowski zusammen.
Mit Andreas Staier erarbeitete er ein reines Schubert-Programm zu vier Händen, das sie gemeinsam aufgenommen haben und regelmäßig im Konzert spielen. Eine intensive Kammermusikpflege mit dem Cellisten Jean-Guihen Queyras gehört für Alexander Melnikov zu den unverzichtbaren Bestandteilen seiner Arbeit. Überaus wichtig sind ihm auch Kammermusikkonzerte mit seiner langjährigen festen Duopartnerin Isabelle Faust. Ihre gemeinsame Gesamteinspielung sämtlicher Beethoven-Violinsonaten bei harmonia mundi, die u. a. mit dem Gramophone Award ausgezeichnet sowie für den Grammy nominiert worden ist, ist zu einer Referenzaufnahme geworden. 2015 erschien ihre Einspielung der Brahmssonaten für Violine und Klavier, 2018 und 2021 Aufnahmen mit Sonaten für Klavier und Violine von Mozart.
Die von ihm ebenfalls bei harmonia mundi veröffentlichten Präludien und Fugen op. 87 von Schostakowitsch wurden u. a. mit dem BBC Music Magazine Award 2011, dem Choc de classica 2010 und dem Jahrespreis der Deutschen Schallplattenkritik ausgezeichnet. 2011 wurde dieses Album vom BBC Music Magazine als eine der 50 wichtigsten Aufnahmen aller Zeiten genannt.
2018 erschien seine von Kritikern hochgelobte Aufnahme »Four Pieces, Four Pianos«, zudem spielte er die gesamten Klaviersonaten von Prokofiev ein und veröffentlichte 2023 sein neues Album »Fantasie – Seven Composers Seven Keyboards«, in dem er, wie auch im Programm Many Pianos die Stücke auf den Instrumenten der jeweiligen Zeit spielt und somit an sein Album von 2018 anknüpft.
Höhepunkte der Saison 2023/24 werden Alexander Melnikovs Konzertreise nach Australien mit dem Melbourne Symphony Orchestra und dem Sydney Symphony Orchestra, seine Residenz als Porträtkünstler in der Kölner Philharmonie, Auftritte mit François-Xavier Roths Orchester »Les Siècles«, Konzerte mit Orchestern wie dem dem Atlanta Symphony Orchestra, dem Finnish Radio Symphony Orchestra, dem London Philharmonic Orchestra, dem Mahler Chamber Orchestra oder dem Barockorchester B’Rock aus Belgien und die Zusammenarbeit mit unter anderem Anja Bihlmaier, Vladimir Jurowski, Nicholas Collon und Osmo Vänskä.
Die kammermusikalische Arbeit setzt Alexander Melnikov in unterschiedlichsten Besetzungen mit Partner:innen wie zum Beispiel Isabelle Faust, Antoine Tamestit und Jean-Guihen Queyras fort und tritt mit diesen Formationen u. a. in der Pariser Philharmonie, im Muziekgebouw Amsterdam, im Mozarteum Salzburg, beim Musikfest Berlin, beim Klavierfestival Ruhr und der Wigmore Hall in London auf. Solo-Konzerte in der Berliner Philharmonie, der Toppan Hall in Tokyo oder der Wigmore Hall runden Alexander Melnikovs diesjährige Saison ab.