Alexander Melnikov absolvierte sein Studium am Moskauer Konservatorium bei Lev Naumov. Zu seinen musikalisch prägendsten Erlebnissen zählen die Begegnungen mit Svjatoslav Richter, der ihn regelmäßig zu seinen Festivals in Russland und Frankreich einlud. Er ist Preisträger bedeutender Wettbewerbe wie dem Internationalen Robert-Schumann-Wettbewerb (1989) und dem Concours Musical Reine Elisabeth in Brüssel (1991).

Seine musikalischen und programmatischen Entscheidungen sind oft ungewöhnlich. Sehr früh begann Alexander Melnikov sich mit der historischen Aufführungspraxis auseinander zu setzen. Wesentliche Impulse erhielt er von Andreas Staier und von Alexei Lubimov, mit dem er in zahlreichen Projekten zusammengearbeitet hat. Regelmäßig steht er mit namhaften Ensembles für Alte Musik wie dem Freiburger Barockorchester, Musica Aeterna oder der Akademie für Alte Musik Berlin auf der Bühne.

Unter den Orchestern, bei denen Alexander Melnikov als Solist gastierte, finden sich das Royal Concertgebouw Orchestra, das Gewandhausorchester Leipzig, Philadelphia Orchestra, das NDR Elbphilharmonie Orchester, das HR-Sinfonieorchester sowie die Münchner Philharmoniker, Rotterdam Philharmonic, und BBC Philharmonic. Er arbeitete mit Dirigenten wie Mikhail Pletnev, Teodor Currentzis, Charles Dutoit, Paavo Järvi, Thomas Dausgaard und Valery Gergiev zusammen.

Mit Andreas Staier erarbeitete er ein reines Schubert-Programm zu vier Händen, das sie gemeinsam aufgenommen haben und regelmäßig im Konzert spielen. Eine intensive Kammermusikpflege mit dem Cellisten Jean-Guihen Queyras gehört für Alexander Melnikov zu den unverzichtbaren Bestandteilen seiner Arbeit.

Überaus wichtig sind ihm auch Kammermusikkonzerte mit seiner langjährigen festen Duopartnerin Isabelle Faust. Ihre gemeinsame Gesamteinspielung sämtlicher Beethoven- Violinsonaten bei harmonia mundi, die u. a. mit dem Gramophone Award ausgezeichnet sowie für den Grammy nominiert worden ist, ist zu einer Referenzaufnahme geworden. 2015 erschien ihre Einspielung der Brahmssonaten für Violine und Klavier, 2018 und 2021 Aufnahmen mit Sonaten für Klavier und Violine von Mozart.

In der Saison 2021/22 präsentiert Alexander Melnikov das Projekt »Many Pianos«, ein Programm auf mehreren Instrumenten, die jeweils den Stil ihrer Zeit widerspiegeln. Neben Konzerten mit dem Orquestra Sinfonica do Estado de Sao Paulo, dem Sydney Symphony Orchestra und dem Sinfonieorchester Basel ist er Residenzkünstler bei den Schwetzinger Festspielen 2022.

Zu den weiteren Höhepunkten der Saison zählen u. a. Einladungen vom Muziekgebow Amsterdam, der Londoner Wigmore Hall und dem Konzerthaus Berlin, eine Konzerttour in Japan mit Andreas Staier sowie Konzerte mit Isabelle Faust und Jean-Guihen Queyras.